高一学生数学建模能力的一次测试调查

1．测试调查目的

　　培养和提高中学生的数学应用意识，使学生掌握提出、分析和解决带有实际意义的或在相关学科，生产、生活中的数学问题，准确而灵活地运用数学语言研究和表述问题，是中学数学教育教学的迫切要求。近几年来，北京、上海、天津等地开展的中学生数学知识应用竞赛为培养学生解决实际问题的能力提供了一条有效途径．我们进行这次测试调查的目的是了解我校高一学生数学知识应用能力的现状，以便为我校开展数学建模教学提供较可靠的资料．

2．测试调查对象

　　测试调查对象选取的是我校高一年级的一个教学班，全班46人．学生的数学基础一般，入学前的中考数学成绩平均分为116分（满分150分）。

3．测试调查方式

首先用笔试方式要求学生在45分钟内完成三道简单数学建模问题；其次由任课教师在课堂上分析试卷并讲解关于数学建模的基本内容，包括数学建模的含义、数学建模的过程、数学建模的常用方法等；最后听取学生的反映．

4．测试题

⑴ 某收购站分两个等级收购小麦，一等小麦每千克为a元，二等小麦每千克为b元（b< a），现有一等品小麦x千克，二等品小麦y千克，若以两种价格的平均数收购，是否公平合理？

⑵ 一家庭（父亲、母亲和孩子们）去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买全票一张，其余人可享受半票优待”；乙旅行社说：“家庭旅行算集体票，按2/3的原价优惠”．这两家旅行社的原价是一样的，试就家庭里不同的孩子数，分别计算两家旅行社的收费（建立表达式），并讨论哪家旅行社更优惠。

⑶ 现有甲乙两个服装厂生产同一种服装，甲厂每月产成衣900套，生产上衣和裤子的时间比是2：1，乙厂每月产成衣1200套，生产上衣和裤子的时间比是3：2．若两厂分工合作，请安排一生产方案，其产量超过原两厂生产能力之和，求出每月生产多少套成衣．

　　测试题总分40分，第一题和第二题均为10分，第三题为20分．要求学生在解决问题时，无论用什么方法解答，无论解答对否，都要写下解题过程或思考过程．

5．测试结果

从整体上看，测试成绩很不理想，特别是第三题得分率相当低．具体成绩见表1和表2。

6．思考与建议

　　⑴尽管初中数学应用题的教学取得了一定的成效，但高中阶段学生数学建模能力的培养亟待加强

　　常见的数学应用题往往具有这样的特点：条件清楚准确、不多不少，结论唯一确定，原始问题数学化的过程简单明了，解出的结论也很少需要学生思考是否符合实际、是否需要进一步调整和修改已有的模型．而这几点正是一般数学建模过程的“重头戏”所在．数学建模问题确实有一部分是应用题，但数学建模所涵盖的范围要大得多．数学建模问题常常是非数学领域中的问题，数学建模过程更加突出地表现为对原始问题的分析、假设、抽象的数学加工过程；数学工具、方法、模型的选择和使用过程；模型的求解、验证、再分析、修改假设、再求解的迭代过程等．

　　从表2可以看到，第一题和第二题的得分较高，得满分的人数也较多．这是因为第一题和第二题类似于常见的数学应用题，虽然在解决这两个问题时，由于学生假设的不同，建立的数学模型也不同，其结论也需要学生思考如何给出符合实际的解释，但其条件清楚准确、不多不少，原始问题数学化的过程简单明了，这一点与传统的数学应用题相似．因此，学生在这两题上得分高可以说明初中的应用题教学确实取得了一定的成效，学生基本上掌握了数学应用题的解题过程．从表2也可以看到第三题的得分很低，满分20分的题目，学生的平均分仅为4.04分，得满分的只有1人．这是因为第三题更加接近数学建模问题，原始问题数学化的过程复杂，题目涉及的变量较多、关系复杂，这给学生理解问题造成了一定的困难．学生在此题上得分低恰好说明了高一学生虽然具备了一定的解应用题的能力，但他们的数学建模能力还处于低级水平，亟待通过高中数学的教学来提高．这一点从表1中也可以看出，数学建模测试卷的平均分为45.8分，这个成绩远远低于及格分60分，而他们中考数学成绩平均分95分，与满分100分仅相差5分（为了比较方便，我们将分数都换算成百分制）．

　　⑵ 数学建模可以提高学生的学习兴趣

　　在听取学生的反映过程中，我们发现42.22%的学生对数学建模很感兴趣，46.67%的学生对数学建模比较感兴趣，并不同程度地促进了他们对于数学及其他课程的学习．有的学生说：“数学源于生活，生活依靠数学，我喜欢将课堂上所学的知识用于生活中”；有的学生说：“平时做的题都是理论性较强，实际性较弱的题，都是在理想化状态下进行讨论，而数学建模问题贴近生活，充满趣味性，我们愿意研究这样的问题”；还有的学生说：“数学建模使我更深切地感受到数学与实际的联系，感受到数学问题的广泛，使我们对于学习数学的重要性理解得更为深刻，也使我们更加重视实际应用”． 的确，数学建模把课堂上的数学知识延伸到实际生活中，呈现给学生一个五彩缤纷的数学世界．数学建模问题如正多边形密铺地面、手机付费等问题都贴近实际生活，有较强的趣味性，学生容易对其产生兴趣，这种兴趣又能激发学生去更努力地学习数学．

　　⑶ 数学建模可以激发学生的创造欲望

我们调查的学生中的66.67%认为数学建模能够激发他们强烈的创造欲望．有的学生说：“平时做的习题，由于受到知识的限制比较多，因此不易发挥我们的创造性．而数学建模问题灵活性强，能够开发我们的创造性”；有的学生说：“数学建模问题往往一个问题有很多种思路，由于假设不同得到的数学模型也不相同，可谓‘条条大路通罗马’”；还有的学生说：“平时千篇一律的习题使我们的头脑僵化，而数学建模‘这边风景独好’，感谢老师赋予了我们可以纵情创造的空间”． 在与学生交谈中我们发现他们并不缺乏创造性，而是我们的数学教育没有为他们提供充分展示创造力的机会和空间．数学建模教学恰恰可以弥补以往数学教学的不足，为中学生提供展示其创造才华的机会．数学建模过程的多样性、灵活性和多层次性可以触发不同水平的学生在不同层次上的创造性，使他们有各自的收获和成功的体验．在我们调查的学生中，有的学生在学习了有关数学建模的知识后提出了自己的研究题目，如“快译通的密码破译问题”，“市民广场上探照灯的设计问题”等．

⑷ 数学教学应加强形象思维能力的培养

测试题中的第二题可以用代数方法解决，也可以利用图像解决．但在第二题的解法中，全班46人中仅有1人采用图像法解决问题，这说明在数学教学中还应加强数形结合思想的教学，加强形象思维的训练．数学建模中的一些问题需要学生自己从各种各样的图表中收集信息和数据，如“股票问题”、“人口增长问题”等等，因此数学建模教学有利于培养学生的形象思维能力，而形象思维能力的提高又有助于培养学生的创造性思维能力．